8460. Площадь основания пирамиды равна 3, объём пирамиды также равен 3. Проведены две плоскости, параллельные основанию пирамиды. Площади получившихся сечений равны 1 и 2. Найдите объём части пирамиды, расположенной между плоскостями.
Ответ. \frac{2\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3}
.
Решение. Каждая из указанных плоскостей отсекает от данной пирамиды подобную ей пирамиду. Пусть k_{1}
и k_{2}
— коэффициенты подобия, V_{1}
и V_{2}
— объёмы отсечённых пирамид, V=3
— объём данной пирамиды, v
— искомый объём. Так как отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, то
k_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}},~k_{2}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.
Так как отношение объёмов подобных тел равно кубу коэффициента подобия, то
V_{1}=k^{3}_{1}\cdot V=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{3}\cdot3=\frac{1}{\sqrt{3}},
V_{2}=k^{3}_{2}\cdot V=\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^{3}\cdot3=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.
Следовательно,
v=V_{2}-V_{1}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3}.