8461. Найдите объём правильного тетраэдра с ребром a
.
Ответ. \frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}
.
Решение. Пусть h
— высота правильного тетраэдра, S
— площадь грани, V
— объём. Тогда
h=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}},~S=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.
Следовательно,
V=\frac{1}{3}S\cdot h=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}.