8464. Объём параллелепипеда равен V
. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются центры граней данного параллелепипеда.
Ответ. \frac{1}{6}V
.
Решение. Пусть S
— площадь основания параллелепипеда, h
— высота параллелепипеда. Многогранник, вершинами которого являются центры граней данного параллелепипеда, состоит из двух четырёхугольных пирамид с общим основанием, площадь которого равна половине площади основания параллелепипеда, а высота каждой пирамиды равна половине высоты параллелепипеда. Тогда, если v
— искомый объём многогранника, то
v=2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}S\cdot\frac{1}{2}h=\frac{1}{6}Sh=\frac{1}{6}V.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 2(г), с. 123