8465. Боковые рёбра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны и равны a
, b
и c
. Найдите объём пирамиды.
Ответ. \frac{1}{6}abc
.
Решение. Пусть боковые рёбра DA
, DB
и DC
треугольной пирамиды ABCD
попарно перпендикулярны и DA=a
, DB=b
, DC=c
. Рассмотрим треугольную пирамиду ABCD
с вершиной C
и основанием ABD
. Её боковое ребро CD
перпендикулярно двум пересекающимся прямым BD
и AD
плоскости ABD
. Поэтому CD
— перпендикуляр к этой плоскости. Значит, CD=c
— высота пирамиды ABCD
. Основание этой пирамиды — прямоугольный треугольник ABD
с катетами AD=a
и BD=b
. Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABD}\cdot CD=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}ab\cdot c=\frac{1}{6}abc.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 3, с. 123