8466. Найдите высоту треугольной пирамиды, боковые рёбра которой попарно перпендикулярны и равны 2, 3 и 4.
Ответ. \frac{12}{\sqrt{61}}
.
Решение. Пусть боковые рёбра DA
, DB
и DC
треугольной пирамиды ABCD
попарно перпендикулярны и DA=2
, DB=3
, DC=4
. Рассмотрим треугольную пирамиду ABCD
с вершиной C
и основанием ABD
. Её боковое ребро CD
перпендикулярно двум пересекающимся прямым BD
и AD
плоскости ABD
. Поэтому CD
— перпендикуляр к этой плоскости. Значит, CD=4
— высота пирамиды ABCD
. Основание этой пирамиды — прямоугольный треугольник ABD
с катетами AD=2
и BD=3
. Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABD}\cdot CD=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}AD\cdot BD\cdot CD=\frac{1}{6}\cdot2\cdot3\cdot4=4.
Пусть DK
— искомая высота пирамиды ABCD
. Тогда
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DK.
Отсюда находим, что
DK=\frac{3V_{ABCD}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{12}{S_{\triangle ABC}}.
Осталось найти площадь треугольника ABC
.
Пусть прямые AK
и BC
пересекаются в точке M
. Тогда прямая BC
перпендикулярна двум пересекающимся прямым DK
и AD
плоскости AMD
. Значит, BC\perp DM
, т. е. DM
— высота прямоугольного треугольника BCD
, проведённая из вершины прямого угла, а AM
— высота треугольника ABC
. Далее имеем:
DM=\frac{CD\cdot BD}{BC}=\frac{4\cdot3}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}=\frac{12}{5},
AM=\sqrt{DM^{2}+AD^{2}}=\sqrt{\frac{144}{25}+4}=\frac{2\sqrt{61}}{5},
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AM=\frac{1}{2}\cdot5\cdot\frac{2\sqrt{61}}{5}=\sqrt{61}.
Следовательно,
DK=\frac{12}{S_{\triangle ABC}}=\frac{12}{\sqrt{61}}.