8468. Найдите объём треугольной пирамиды, пять рёбер которой равны 2, а шестое равно \sqrt{6}
.
Ответ. 1.
Решение. Пусть ABCD
— треугольная пирамида, в которой
AD=BD=CD=AB=AC=2,~BC=\sqrt{6}.
Если DO
высота пирамиды, то O
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
(так как AD=BD=CD
). Пусть R
— радиус этой окружности, M
— середина BC
, а \angle ABC=\alpha
. Тогда
AM=\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{2^{2}-\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4-\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}},
\sin\alpha=\frac{AM}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}},~R=\frac{AC}{2\sin\alpha}=\frac{1}{\sin\alpha}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}},
DO=\sqrt{AD^{2}-R^{2}}=\sqrt{4-\frac{8}{5}}=\sqrt{\frac{12}{5}},
V=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DO=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}BC\cdot AM\cdot DO=\frac{1}{6}\cdot\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{\frac{12}{5}}=1.