8474. Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром b
и радиусом R
описанной сферы.
Ответ. \frac{b^{4}\sqrt{3}(4R^{2}-b^{2})}{32R^{3}}
.
Решение. Пусть O
— центр сферы радиуса R
, описанной около правильной треугольной пирамиды ABCD
с боковыми рёбрами DA=DB=DC=b
. Точка O
лежит на прямой DM
, где M
— центр основания ABC
, а так как точки A
и D
лежат на сфере, то O
лежит также на серединном перпендикуляре к стороне AD
треугольника ADM
.
Обозначим AB=BC=AC=a
, \angle ADM=\varphi
. Если K
— середина AD
, то
\cos\varphi=\frac{DK}{DO}=\frac{\frac{b}{2}}{R}=\frac{b}{2R},~DM=AD\cos\varphi=b\cdot\frac{b}{2R}=\frac{b^{2}}{2R},
\frac{a}{\sqrt{3}}=AM=AD\sin\varphi=b\sqrt{1-\cos^{2}\varphi}=b\sqrt{1-\frac{b^{2}}{4R^{2}}}=b\frac{\sqrt{4R^{2}-b^{2}}}{2R},
a=\frac{b\sqrt{3}\cdot\sqrt{4R^{2}-b^{2}}}{2R}.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DM=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot DM=
=\frac{1}{3}\left(\frac{b\sqrt{3}\cdot\sqrt{4R^{2}-b^{2}}}{2R}\right)^{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{b^{2}}{2R}=\frac{b^{4}\sqrt{3}(4R^{2}-b^{2})}{32R^{3}}.