8475. Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром b
и площадью Q
боковой грани.
Ответ. \frac{1}{6}(b^{2}\pm\sqrt{b^{4}-4Q^{2}})\sqrt{b^{2}\mp2\sqrt{b^{4}-4Q^{2}}}
(если 2Q\lt b^{2}\lt\frac{4Q}{\sqrt{3}}
, то оба решения).
Решение. Пусть M
— центр основания ABC
правильной треугольной пирамиды ABCD
с боковыми рёбрами DA=DB=DC=b
, K
— середина AB
. Обозначим AB=BC=AC=a
. Тогда
AM=\frac{a}{\sqrt{3}},~DK=\sqrt{AD^{2}-AK^{2}}=\sqrt{b^{2}-\frac{a^{2}}{4}},
Q=S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot DK=\frac{1}{2}a\sqrt{b^{2}-\frac{a^{2}}{4}}=\frac{_{1}}{4}a\sqrt{4b}^{2}-a^{2},
4Q=a\sqrt{4b^{2}-a^{2}},~16Q^{2}=4a^{2}b^{2}-a^{4},~a^{4}-4a^{2}b^{2}+16Q^{2}=0.
Из полученного уравнения находим, что
a^{2}=2b^{2}\pm\sqrt{4b^{4}-16Q^{2}}.
Поэтому
DM=\sqrt{AD^{2}-AM^{2}}=\sqrt{b^{2}-b^{2}+\frac{a^{2}}{4}}
=\sqrt{b^{2}\mp2\sqrt{b^{4}-4Q^{2}}}\sqrt{3}.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DM=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot DM
=\frac{\sqrt{3}}{12}\cdot(2b^{2}\pm\sqrt{4b^{4}-16Q^{2}})
=\frac{1}{6}(b^{2}\pm\sqrt{b^{4}-4Q^{2}})\sqrt{b^{2}\mp2\sqrt{b^{4}-4Q^{2}}}.