8481. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания a
и радиусом R
описанной сферы.
Ответ. \frac{1}{3}a^{2}\left(R\pm\sqrt{R^{2}-\frac{a^{2}}{2}}\right)
.
Решение. Пусть O
— центр сферы радиуса R
, описанной около правильной четырёхугольной пирамиды PABCD
с вершиной P
, M
— центр основания ABCD
(рис. 1). Тогда точка O
лежит на прямой PM
. Обозначим PM=h
. Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки A
, C
и P
(рис. 2). Получим равнобедренный треугольник APC
, вписанный в окружность радиуса R
с центром O
. Продолжим отрезок PM
за точку M
до пересечения с окружностью в точке Q
. Так как AM
— высота прямоугольного треугольника PAQ
, проведённая из вершины прямого угла, то
AM^{2}=PM\cdot MQ,~\mbox{или}~\frac{a^{2}}{2}=h(2R-h).
Из полученного уравнения находим, что
h=R\pm\sqrt{R^{2}-\frac{a^{2}}{2}}.
Следовательно,
V_{PABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot PM=\frac{1}{3}a^{2}\cdot h=\frac{1}{3}a^{2}\left(R\pm\sqrt{R^{2}-\frac{a^{2}}{2}}\right).