8485. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды с боковым ребром b
и площадью Q
боковой грани.
Ответ. \frac{2}{3}(b^{2}-\sqrt{b^{4}-4Q^{2}}){\sqrt[{4}]{{b^{4}-4Q^{2}}}}
.
Решение. Пусть M
— центр основания ABCD
правильной четырёхугольной пирамиды PABCD
с боковыми рёбрами PA=PB=PC=PD=b
, K
— середина AB
. Обозначим AB=BC=CD=AD=a
. Тогда
AM=\frac{a}{\sqrt{2}},~PK=\sqrt{AP^{2}-AK^{2}}=\sqrt{b^{2}-\frac{a^{2}}{4}},
Q=S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}AB\cdot PK=\frac{1}{2}a\sqrt{b^{2}-\frac{a^{2}}{4}}=\frac{1}{4}a\sqrt{4b^{2}-a^{2}},
4Q=a\sqrt{4b^{2}-a^{2}},~16Q^{2}=4a^{2}b^{2}-a^{4},~a^{4}-4a^{2}b^{2}+16Q^{2}=0.
Из полученного уравнения находим, что
a^{2}=2b^{2}-\sqrt{4b^{4}-16Q^{2}}
(второй корень не удовлетворяет условию задачи, так как b\gt\frac{a}{\sqrt{2}}
). Поэтому
PM=\sqrt{AP^{2}-AM^{2}}=\sqrt{b^{2}-\frac{a^{2}}{2}}=\sqrt{b^{2}-\frac{1}{2}\left(2b^{2}-\sqrt{4b^{4}-16Q^{2}}\right)}=
={\sqrt[{4}]{{b^{4}-4Q^{2}}}}.
Следовательно,
V_{PABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot PM=\frac{1}{3}a^{2}\cdot PM=
=\frac{1}{3}\left(2b^{2}-\sqrt{4b^{4}-16Q^{2}}\right){\sqrt[{4}]{{b^{4}-4Q^{2}}}}=\frac{2}{3}\left(b^{2}-\sqrt{b^{4}-4Q^{2}}\right){\sqrt[{4}]{{b^{4}-4Q^{2}}}}.