8487. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды с высотой h
и радиусом r
вписанной сферы.
Ответ. \frac{4r^{2}h^{2}}{3(h-2r)}
.
Решение. Пусть O
— центр сферы радиуса r
, вписанной в правильную четырёхугольную пирамиду PABCD
с вершиной P
, K
— середина BC
. Точка O
лежит на прямой PM
, где M
— центр основания ABCD
. По условию задачи PM=h
.
Обозначим AB=BC=CD=AD=a
, \angle PKM=\beta
. Тогда KM=\frac{a}{2}
. Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки K
, P
и M
. Получим окружность радиуса r
с центром O
на прямой MP
, касающуюся стороны KM
угла PKM
в точке M
, а стороны KP
— в некоторой точке N
. Из прямоугольного треугольника PNO
находим, что
\cos\beta=\cos\angle PON=\frac{ON}{OP}=\frac{r}{h-r}.
Поэтому
\tg\beta=\sqrt{\frac{1}{\cos^{2}\beta}-1}=\sqrt{\frac{(h-r)^{2}}{r^{2}}-1}=\frac{\sqrt{h^{2}-2rh}}{r}.
Из прямоугольного треугольника PMK
находим, что
\frac{a}{2}=MK=\frac{PM}{\tg\angle PKM}=\frac{PM}{\tg\beta}=\frac{rh}{\sqrt{h^{2}-2rh}},
откуда a=\frac{2rh}{\sqrt{h^{2}-2rh}}
. Следовательно,
V_{PABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot PM=\frac{1}{3}a^{2}h=\frac{1}{3}\left(\frac{2rh}{\sqrt{h^{2}-2rh}}\right)^{2}h=\frac{4r^{2}h^{2}}{3(h-2r)}.