8488. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды с высотой h
и площадью Q
боковой грани.
Ответ. \frac{2}{3}h(\sqrt{h^{4}+4Q^{2}}-h^{2})
Решение. Пусть M
— центр основания ABCD
правильной четырёхугольной пирамиды PABCD
с вершиной P
, K
— середина BC
, PM=h
, S_{\triangle BPC}=Q
. Обозначим AB=BC=CD=AD=a
. Тогда
KM=\frac{a}{2},~PK=\sqrt{PM^{2}+KM^{2}}=\sqrt{h^{2}+\frac{a^{2}}{4}},
Q=S_{\triangle BPC}=\frac{1}{2}BC\cdot PK=\frac{1}{2}a\cdot\sqrt{h^{2}+\frac{a^{2}}{4}},
Q^{2}=\frac{1}{4}a^{2}(h^{2}+\frac{a^{2}}{4}),~16Q^{2}=4a^{2}h^{2}+a^{4},~a^{4}+4a^{2}h^{2}-16Q^{2}=0.
Из полученного уравнения находим, что
a^{2}=\sqrt{4h^{4}+16Q^{2}}-2h^{2}=2(\sqrt{h^{4}+4Q^{2}}-h^{2}).
Следовательно,
V_{PABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot PM=\frac{1}{3}a^{2}\cdot h=
=\frac{1}{3}\cdot2(\sqrt{h^{4}+4Q^{2}}-h^{2})\cdot h=\frac{2}{3}h(\sqrt{h^{4}+4Q^{2}}-h^{2}).