8492. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания a
и радиусом r
вписанной сферы.
Ответ. \frac{3\sqrt{3}a^{4}r}{3a^{2}-4r^{2}}
.
Решение. Пусть O
— центр сферы радиуса r
, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду PABCDEF
с вершиной P
(рис. 1), K
— середина BC
. Точка O
лежит на прямой PM
, где M
— центр основания ABCDEF
. Обозначим PM=h
, \angle PKM=\beta
. Тогда KM=\frac{a\sqrt{3}}{2}
.
Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки P
, K
и M
(рис. 2). Получим окружность радиуса r
с центром O
на прямой PM
, касающуюся стороны KM
угла PKM
в точке M
, а стороны PK
— в некоторой точке N
. Из прямоугольного треугольника PNO
находим, что
\tg\frac{\beta}{2}=\tg\angle MKO=\frac{OM}{MK}=\frac{r}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2r}{a\sqrt{3}}.
Поэтому
\tg\angle PKM=\tg\beta=\frac{2\tg\frac{\beta}{2}}{1-\tg^{2}\frac{\beta}{2}}=\frac{\frac{4r}{a\sqrt{3}}}{1-\frac{4r^{2}}{3a^{2}}}=\frac{4ar\sqrt{3}}{3a^{2}-4r^{2}}.
Из прямоугольного треугольника PMK
находим, что
h=PM=KM\tg\angle PKM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{4ar\sqrt{3}}{3a^{2}-4r^{2}}=\frac{6a^{2}r}{3a^{2}-4r^{2}}.
Следовательно,
V_{PABCDEF}=\frac{1}{3}S_{ABCDEF}\cdot PM=\frac{1}{3}\cdot\frac{6a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot h=
=\frac{1}{3}\cdot\frac{6a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{6a^{2}r}{3a^{2}-4r^{2}}=\frac{3\sqrt{3}a^{4}r}{3a^{2}-4r^{2}}.