8494. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды с боковым ребром b
и радиусом R
описанной сферы.
Ответ. \frac{b^{4}\sqrt{3}(4R^{2}-b^{2})}{16R^{3}}
.
Решение. Пусть O
— центр сферы радиуса R
, описанной около правильной шестиугольной пирамиды PABCDEF
(рис. 1) с боковыми рёбрами PA=PB=PC=PD=PE=PF=b
. Точка O
лежит на прямой PM
, где M
— центр основания ABCDEF
, а так как точки A
и P
лежат на сфере, то O
лежит также на серединном перпендикуляре к стороне AP
треугольника APM
.
Обозначим AB=BC=CD=DE=EF=AF=a
, \angle APM=\varphi
. Если K
— середина AP
(рис. 2), то
\cos\varphi=\frac{PK}{PO}=\frac{\frac{b}{2}}{R}=\frac{b}{2R},~PM=AP\cos\varphi=b\cdot\frac{b}{2R}=\frac{b^{2}}{2R},
a=AM=AP\sin\varphi=b\sqrt{1-\cos^{2}\varphi}=b\sqrt{1-\frac{b^{2}}{4R^{2}}}=\frac{b\sqrt{4R^{2}-b^{2}}}{2R}.
Следовательно,
V_{PABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCDEF}\cdot PM=\frac{1}{3}\cdot\frac{6a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot PM=
=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}\sqrt{3}\cdot\left(\frac{b\sqrt{4R^{2}-b^{2}}}{2R}\right)^{2}\cdot\frac{b^{2}}{2R}=\frac{b^{4}\sqrt{3}(4R^{2}-b^{2})}{16R^{3}}.