8495. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды с боковым ребром b
и площадью Q
боковой грани.
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{2}\left(2b^{2}-\sqrt{4b^{4}-16Q^{2}}\right)\sqrt{\sqrt{4b^{4}-16Q^{2}}-b^{2}}
.
Решение. Пусть M
— центр основания ABCDEF
правильной шестиугольной пирамиды PABCDEF
с боковыми рёбрами PA=PB=PC=PD=PE=PF=b
, K
— середина AB
. Обозначим AB=BC=CD=DE=EF=AF=a
. Тогда
AM=a,~PK=\sqrt{AP^{2}-AK^{2}}=\sqrt{b^{2}-\frac{a^{2}}{4}},
Q=S_{\triangle APB}=\frac{1}{2}AB\cdot PK=\frac{1}{2}a\sqrt{b^{2}-\frac{a^{2}}{4}}=\frac{1}{4}a\sqrt{4b^{2}-a^{2}},
4Q=a\sqrt{4b^{2}-a^{2}},~16Q^{2}=4a^{2}b^{2}-a^{4},~a^{4}-4a^{2}b^{2}+16Q^{2}=0.
Из полученного уравнения находим, что
a^{2}=2b^{2}-\sqrt{4b^{4}-16Q^{2}}
(второй корень не удовлетворяет условию задачи, так как b\gt a
). Поэтому
PM=\sqrt{AP^{2}-AM^{2}}=\sqrt{b^{2}-a^{2}}=\sqrt{b^{2}-2b^{2}+\sqrt{4b^{4}-16Q^{2}}}=
=\sqrt{\sqrt{4b^{4}-16Q^{2}}-b^{2}}.
Следовательно,
V_{PABCDEF}=\frac{1}{3}S_{ABCDEF}\cdot PM=\frac{1}{3}\cdot\frac{6a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot PM=
=\frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot\left(2b^{2}-\sqrt{4b^{4}-16Q^{2}}\right)\cdot\sqrt{\sqrt{4b^{4}-16Q^{2}}-b^{2}}=
=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(2b^{2}-\sqrt{4b^{4}-16Q^{2}}\right)\sqrt{\sqrt{4b^{4}-16Q^{2}}-b^{2}}.