8496. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды с высотой h
и радиусом R
описанной сферы.
Ответ. \frac{1}{2}h^{2}\sqrt{3}(2R-h)
.
Решение. Пусть O
— центр сферы радиуса R
, описанной около правильной шестиугольной пирамиды PABCDEF
с вершиной P
. Точка O
лежит на прямой PM
, где M
— центр основания ABCDEF
. По условию задачи PM=h
.
Обозначим AB=BC=CD=DE=EF=AF=a
. Тогда AM=a
. Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки A
, P
и D
. Получим окружность радиуса R
с центром O
на прямой MP
и вписанный в эту окружность равнобедренный треугольник APD
. Продолжим отрезок PM
за точку M
до пересечения с окружностью в точке Q
. Из прямоугольного треугольника APQ
находим, что
AM^{2}=PM\cdot MQ,~\mbox{или}~a^{2}=h(2R-h).
Следовательно,
V_{PABCDEF}=\frac{1}{3}S_{ABCDEF}\cdot PM=\frac{1}{3}\cdot\frac{6a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot h=
=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}\sqrt{3}h(2R-h)\cdot h=\frac{1}{2}h^{2}\sqrt{3}(2R-h).