8498. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды с высотой h
и площадью Q
боковой грани.
Ответ. \frac{1}{3}h\sqrt{3}\left(\sqrt{h^{4}+12Q^{2}}-h^{2}\right)
.
Решение. Пусть M
— центр основания ABCDEF
правильной шестиугольной пирамиды PABCDEF
с вершиной P
, K
— середина BC
, PM=h
, S_{\triangle BPC}=Q
. Обозначим AB=BC=CD=DE=EF=AF=a
. Тогда
KM=\frac{a\sqrt{3}}{2},~PK=\sqrt{PM^{2}+KM^{2}}=\sqrt{h^{2}+\frac{3a^{2}}{4}},
Q=S_{\triangle BPC}=\frac{1}{2}BC\cdot PK=\frac{1}{2}a\cdot\sqrt{h^{2}+\frac{3a^{2}}{4}},
Q^{2}=\frac{1}{4}a^{2}(h^{2}+\frac{3a^{2}}{4}),~16Q^{2}=4a^{2}h^{2}+3a^{4},~3a^{4}+4a^{2}h^{2}-16Q^{2}=0.
Из полученного уравнения находим, что
a^{2}=\frac{\sqrt{4h^{4}+48Q^{2}}-2h^{2}}{3}=\frac{2}{3}\left(\sqrt{h^{4}+12Q^{2}}-h^{2}\right).
Следовательно,
V_{PABCDEF}=\frac{1}{3}S_{ABCDEF}\cdot PM=\frac{1}{3}\cdot\frac{6a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot h=
=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}\sqrt{3}\cdot\frac{2}{3}\left(\sqrt{h^{4}+12Q^{2}}-h^{2}\right)\cdot h=\frac{1}{3}h\sqrt{3}\left(\sqrt{h^{4}+12Q^{2}}-h^{2}\right).