8502. Найдите объём правильной треугольной пирамиды со стороной основания a
и плоским углом \varphi
при вершине пирамиды.
Ответ. \frac{a^{3}\sqrt{3\ctg^{2}\frac{\varphi}{2}-1}}{24}=\frac{a^{3}\sqrt{1+2\cos\varphi}}{24\sin\frac{\varphi}{2}}
.
Решение. Пусть K
— середина стороны BC
основания ABC
правильной треугольной пирамиды ABCD
, M
— центр основания ABC
. По условию задачи \angle BDC=\varphi
.
Из прямоугольного треугольника BKD
находим, что
DK=BK\ctg\angle BDK=\frac{a}{2}\ctg\frac{\varphi}{2}=\frac{a\ctg\frac{\varphi}{2}}{2}.
Из прямоугольного треугольника DMK
находим, что
DM=\sqrt{DK^{2}-MK^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a\ctg\frac{\varphi}{2}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^{2}}=\frac{a\sqrt{9\ctg^{2}\frac{\varphi}{2}-3}}{6}.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DM=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{9\ctg^{2}\frac{\varphi}{2}-3}}{6}=\frac{a^{3}\sqrt{3\ctg^{2}\frac{\varphi}{2}-1}}{24}.