8505. Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром b
и углом \gamma
между боковыми гранями.
Ответ. \frac{b^{3}\ctg\frac{\gamma}{2}(4\sin^{2}\frac{\gamma}{2}-1)}{12\sin^{2}\frac{\gamma}{2}}=\frac{b^{3}(1-2\cos\gamma)\cos\frac{\gamma}{2}}{12\sin^{3}\frac{\gamma}{2}}
.
Решение. Пусть F
— основание перпендикуляра, опущенного из вершины B
основания ABC
правильной треугольной пирамиды ABCD
на боковое ребро AD
, M
— центр основания ABC
, K
и L
— середины сторон BC
и AB
основания. Так как прямая AK
— ортогональная проекция наклонной AD
на плоскость основания и AK\perp BC
, то по теореме о трёх перпендикулярах AD\perp BC
. Значит, прямая AD
перпендикулярна двум пересекающимся прямым BC
и BF
плоскости BFC
. Поэтому AD
— перпендикуляр к плоскости BFC
, а BFC
— линейный угол двугранного угла между боковыми гранями ABD
и ACD
. По условию задачи \angle BFC=\gamma
. Обозначим AB=BC=AC=a
.
Из прямоугольного треугольника DAL
находим, что
DL=\sqrt{AD^{2}-AL^{2}}=\sqrt{b^{2}-\frac{a^{2}}{4}}.
Так как AD\cdot BF=AB\cdot DL
, то
BF=\frac{AB\cdot DL}{AD}=\frac{a\sqrt{b^{2}-\frac{a^{2}}{4}}}{b}.
Из прямоугольного треугольника BFK
находим, что
BK=BF\sin\angle BFK,~\mbox{или}~\frac{a}{2}=\frac{a\sqrt{b^{2}-\frac{a^{2}}{4}}}{b}\cdot\sin\frac{\gamma}{2},
откуда
a^{2}=\frac{b^{2}\left(4\sin^{2}\frac{\gamma}{2}-1\right)}{\sin^{2}\frac{\gamma}{2}},~a=\frac{b\sqrt{4\sin^{2}\frac{\gamma}{2}-1}}{\sin\frac{\gamma}{2}}.
Из прямоугольного треугольника DAM
находим, что
DM=\sqrt{AD^{2}-AM^{2}}=\sqrt{b^{2}-\frac{a^{2}}{3}}=\sqrt{b^{2}-\frac{b^{2}\left(4\sin^{2}\frac{\gamma}{2}-1\right)}{3\sin^{2}\frac{\gamma}{2}}}=
=\frac{b}{\sqrt{3}\sin\frac{\gamma}{2}}\cdot\sqrt{3\sin^{2}\frac{\gamma}{2}-4\sin^{2}\frac{\gamma}{2}+1}=\frac{b}{\sqrt{3}\sin\frac{\gamma}{2}}\cdot\sqrt{1-\sin^{2}\frac{\gamma}{2}}=\frac{b\ctg\frac{\gamma}{2}}{\sqrt{3}}.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{b\ctg\frac{\gamma}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{b^{2}\left(4\sin^{2}\frac{\gamma}{2}-1\right)}{\sin^{2}\frac{\gamma}{2}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{b\ctg\frac{\gamma}{2}}{\sqrt{3}}=
=\frac{b^{3}\left(4\sin^{2}\frac{\gamma}{2}-1\right)\ctg\frac{\gamma}{2}}{12\sin^{2}\frac{\gamma}{2}}.