8506. Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром b
и плоским углом \varphi
при вершине пирамиды.
Ответ. \frac{1}{3}b^{3}\sin^{2}\frac{\varphi}{2}\sqrt{3-4\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}=\frac{1}{3}b^{3}\sin^{2}\frac{\varphi}{2}\sqrt{1+\cos\varphi}
.
Решение. Пусть K
— середина стороны BC
основания ABC
правильной треугольной пирамиды ABCD
, M
— центр основания ABC
. По условию задачи \angle BDC=\varphi
. Обозначим AB=BC=AC=a
.
Из прямоугольных треугольников BKD
и BMD
находим, что
\frac{a}{2}=BK=BD\sin\angle BDK=b\sin\frac{\varphi}{2},
DM=\sqrt{BD^{2}-BM^{2}}=\sqrt{b^{2}-\frac{a^{2}}{3}}=\sqrt{b^{2}-\frac{4}{3}b^{2}\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}=b\sqrt{1-\frac{4}{3}\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DM=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot b\sqrt{1-\frac{4}{3}\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}=
=\frac{\sqrt{3}}{12}\cdot4b^{2}\sin^{2}\frac{\varphi}{2}\cdot b\sqrt{1-\frac{4}{3}\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}=\frac{1}{3}b^{3}\sin^{2}\frac{\varphi}{2}\sqrt{3-4\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}.