8510. Найдите объём правильной треугольной пирамиды с высотой h
и плоским углом \varphi
при вершине пирамиды.
Ответ. \frac{h^{3}\sqrt{3}\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}{3-4\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}=\frac{h^{3}\sqrt{3}\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}{1+2\cos\varphi}
.
Решение. Пусть K
— середина стороны BC
основания ABC
правильной треугольной пирамиды ABCD
, M
— центр основания ABC
. По условию задачи \angle BDC=\varphi
. Обозначим AB=BC=AC=a
.
Из прямоугольных треугольников BKD
и BMD
находим, что
BD=\frac{BK}{\sin\angle BDK}=\frac{\frac{a}{2}}{\sin\frac{\varphi}{2}}=\frac{a}{2\sin\frac{\varphi}{2}},
BD^{2}=DM^{2}+BM^{2}=h^{2}+\frac{1}{3}a^{2}.
Из уравнения
\frac{1}{4}\cdot\frac{a^{2}}{\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}=h^{2}+\frac{1}{3}a^{2}
находим, что
a^{2}=\frac{12h^{2}\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}{3-4\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}a^{2}\sqrt{3}\cdot h=\frac{\sqrt{3}}{12}\cdot a^{2}h=\frac{\sqrt{3}}{12}\cdot\frac{12h^{3}\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}{3-4\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}=\frac{h^{3}\sqrt{3}\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}{3-4\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}.