8511. Найдите объём правильной треугольной пирамиды с радиусом R
описанной сферы и углом \alpha
бокового ребра с плоскостью основания.
Ответ. \frac{1}{4}R^{3}\sqrt{3}\sin^{3}2\alpha\tg\alpha=\frac{1}{2}R^{3}\sqrt{3}\sin^{2}2\alpha\sin^{2}\alpha
.
Решение. Пусть O
— центр сферы радиуса R
, описанной около правильной треугольной пирамиды ABCD
с вершиной D
(рис. 1). Точка O
лежит на прямой DM
, где M
— центр основания ABC
. По условию задачи OA=R
, \angle DAM=\alpha
.
Обозначим AB=BC=AC=a
. Тогда AM=\frac{a\sqrt{3}}{3}
. Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки A
, D
и M
(рис. 2). Получим окружность радиуса R
с центром O
на прямой MD
. Продолжим отрезок DM
за точку M
до пересечения с окружностью в точке P
. Из прямоугольных треугольников AMD
и APD
находим, что
DM=AM\tg\angle DAM=\frac{a\sqrt{3}\tg\alpha}{3},
AM^{2}=DM\cdot MP,~\mbox{или}~\frac{1}{3}a^{2}=\frac{a\sqrt{3}\tg\alpha}{3}\left(2R-\frac{a\sqrt{3}\tg\alpha}{3}\right),
откуда
a=\frac{2R\sqrt{3}\tg\alpha}{1+\tg^{2}\alpha}=2R\sqrt{3}\tg\alpha\cos^{2}\alpha=2R\sqrt{3}\sin\alpha\cos\alpha=R\sqrt{3}\sin2\alpha.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DM=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3}\tg\alpha}{3}=
=\frac{1}{12}a^{3}\tg\alpha=\frac{1}{12}(R\sqrt{3}\sin2\alpha)^{3}\tg\alpha=\frac{1}{4}R^{3}\sqrt{3}\sin^{3}2\alpha\tg\alpha.