8515. Найдите объём правильной треугольной пирамиды с радиусом r
вписанной сферы и углом \alpha
бокового ребра с плоскостью основания.
Ответ. \frac{r^{3}\sqrt{3}\left(1+\sqrt{1+4\tg^{2}\alpha}\right)^{3}}{4\tg^{2}\alpha}
.
Решение. Пусть Q
— центр сферы радиуса r
, вписанной в правильную треугольную пирамиду ABCD
с вершиной D
, K
— середина BC
(рис. 1). Точка Q
лежит на прямой DM
, где M
— центр основания ABC
. Обозначим AB=BC=AC=a
, \angle DKM=\beta
. Тогда
BM=\frac{a}{\sqrt{3}},~KM=\frac{a}{2\sqrt{3}},~DM=BM\tg\angle MBD=\frac{a\tg\alpha}{\sqrt{3}}.
Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки D
, K
и M
(рис. 2). Получим окружность радиуса r
с центром Q
на прямой DM
, касающуюся стороны KM
угла DKM
в точке M
. Из прямоугольного треугольника KMQ
находим, что
r=QM=MK\tg\angle MKQ=\frac{a}{2\sqrt{3}}\tg\frac{\beta}{2}=\frac{a\tg\frac{\beta}{2}}{2\sqrt{3}},
откуда \tg\frac{\beta}{2}=\frac{2r\sqrt{3}}{a}
. Из прямоугольного треугольника DMK
находим, что
\tg\beta=\tg\angle DKM=\frac{DM}{KM}=\frac{\frac{a\tg\alpha}{\sqrt{3}}}{\frac{a}{2\sqrt{3}}}=2\tg\alpha.
Подставив \tg\beta=2\tg\alpha
в формулу
\tg\beta=\frac{2\tg\frac{\beta}{2}}{1-\tg^{2}\frac{\beta}{2}},
получим уравнение
\tg\alpha=\frac{\tg\frac{\beta}{2}}{1-\tg^{2}\frac{\beta}{2}},
или
\tg\alpha=\frac{\frac{2r\sqrt{3}}{a}}{1-\frac{12r^{2}}{a^{2}}}=\frac{2ar\sqrt{3}}{a^{2}-12r^{2}}~\Leftrightarrow~a^{2}\tg\alpha-2ar\sqrt{3}-12r^{2}\tg\alpha=0,
откуда
a=\frac{r\sqrt{3}+\sqrt{3r^{2}+12r^{2}\tg^{2}\alpha}}{\tg\alpha}=\frac{r\sqrt{3}(1+\sqrt{1+4\tg^{2}\alpha})}{\tg\alpha}.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DM=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot DM=\frac{\sqrt{3}}{12}\cdot a^{2}\cdot DM=\frac{\sqrt{3}}{12}a^{2}\cdot\frac{a\tg\alpha}{\sqrt{3}}=
=\frac{1}{12}a^{3}\tg\alpha=\frac{1}{12}\left(\frac{r\sqrt{3}(1+\sqrt{1+4\tg^{2}\alpha})}{\tg\alpha}\right)^{3}\tg\alpha=
=\frac{1}{12}\cdot\frac{3r^{3}\sqrt{3}\left(1+\sqrt{1+4\tg^{2}\alpha}\right)^{3}}{\tg^{3}\alpha}\cdot\tg^{2}\alpha=\frac{r^{3}\sqrt{3}\left(1+\sqrt{1+4\tg^{2}\alpha}\right)^{3}}{4\tg^{2}\alpha}.