8539. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды с радиусом r
вписанной сферы и углом \alpha
бокового ребра с плоскостью основания.
Ответ. \frac{2r^{3}(\sqrt{2\tg^{2}\alpha+1}+1)^{3}}{3\tg^{2}\alpha}
.
Решение. Пусть O
— центр сферы радиуса r
, вписанной в правильную четырёхугольную пирамиду PABCD
с вершиной P
, K
— середина BC
(рис. 1). Точка O
лежит на прямой PM
, где M
— центр основания ABCD
. Обозначим AB=BC=CD=AD=a
, \angle PKM=\beta
. Тогда KM=\frac{a}{2}
, CM=\frac{a\sqrt{2}}{2}
. Из прямоугольных треугольников CMP
и KMP
находим, что
PM=CM\cdot\tg\angle PCM=\frac{a\sqrt{2}}{2}\tg\alpha,~PM=KM\cdot\tg\angle PKM=\frac{a}{2}\tg\beta.
Из уравнения \frac{a\sqrt{2}\tg\alpha}{2}=\frac{a\tg\beta}{2}
находим, что \tg\beta=\sqrt{2}\tg\alpha
. Обозначим \tg\frac{\beta}{2}=t
. Тогда
\sqrt{2}\tg\alpha=\tg\beta=\frac{2t}{1-t^{2}},
откуда находим, что
\tg\frac{\beta}{2}=t=\frac{\sqrt{1+2\tg^{2}\alpha}-1}{\sqrt{2}\tg\alpha}.
Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки P
, K
и M
(рис. 2). Получим окружность радиуса r
с центром O
на прямой PM
, касающуюся стороны KM
угла PKM
в точке M
, а стороны PK
— в некоторой точке N
. Так как KO
— биссектриса угла PKM
, то \angle OKM=\frac{\beta}{2}
. Из прямоугольного треугольника OMK
находим, что
\frac{a}{2}=MK=\frac{OM}{\tg\angle OKM}=\frac{r}{\tg\frac{\beta}{2}}=
=\frac{r\sqrt{2}}{\sqrt{1+2\tg^{2}\alpha}-1}=\frac{r\sqrt{2}\sqrt{1+2\tg^{2}\alpha}+1}{2\tg\alpha},
откуда
a=\frac{r\sqrt{2}(\sqrt{1+2\tg^{2}\alpha}+1)}{\tg\alpha}.
Значит,
PM=CM\tg\angle PCM=\frac{a\sqrt{2}}{2}\tg\alpha=r(\sqrt{1+2\tg^{2}\alpha}+1).
Следовательно,
V_{PABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot PM=\frac{1}{3}a^{2}\cdot PM=\frac{1}{3}a^{2}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}\tg\alpha=
=\frac{\sqrt{2}}{6}a^{3}\tg\alpha=\frac{\sqrt{2}}{6}\cdot\frac{2r^{3}\sqrt{2}(\sqrt{1+2\tg^{2}\alpha}+1)^{3}}{\tg^{3}\alpha}\cdot\tg\alpha=\frac{2r^{3}(\sqrt{2\tg^{2}\alpha+1}+1)^{3}}{3\tg^{2}\alpha}.