8574. Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— единичный куб. Найдите объём общей части треугольных пирамид ACB_{1}D_{1}
и A_{1}C_{1}BD
.
Ответ. \frac{1}{6}
.
Указание. Общая часть пирамид ACB_{1}D_{1}
и A_{1}C_{1}BD
есть правильный октаэдр, вершины которого совпадают с центрами граней куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
.
Решение. Пирамиды ACB_{1}D_{1}
и A_{1}C_{1}BD
— правильные тетраэдры с ребром \sqrt{2}
. Их общая часть — многогранник, все вершины которого совпадают с центрами граней куба, а все грани — правильные треугольники со сторонами \frac{\sqrt{2}}{2}
(правильный октаэдр). Этот многогранник состоит из двух правильных четырёхугольных пирамид, все рёбра которых равны \frac{\sqrt{2}}{2}
. Высота каждой из этих пирамид равна половине ребра куба, т. е. \frac{1}{2}
, а площадь основания равна \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}
Следовательно, искомый объём равен
2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6}.