8576. Рассмотрим прямоугольник ABCD
, в котором AB=2
, BC=3
. Отрезок KM
параллелен AB
(см.рис.), расположен на расстоянии 1 от плоскости ABCD
и KM=5
. Найдите объём многогранника ABCDKM
.
Ответ. \frac{9}{2}
.
Решение. Плоскость BKC
разбивает многогранник ABCDKM
на четырёхугольную пирамиду ABCDK
с основанием ABCD
и треугольную пирамиду BCKM
. Высота KK_{1}
пирамиды ABCDK
равна расстоянию от точки K
до плоскости ABCD
, т. е. KK_{1}=1
. Противоположные рёбра BC
и KM
треугольной пирамиды BCKM
перпендикулярны, а расстояние d
между ними равно расстоянию от прямой KM
до плоскости ABCD
, т. е. d=1
. Поэтому
V_{ABCDK}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot KK_{1}=\frac{1}{3}AB\cdot BC\cdot KK_{1}=\frac{1}{3}\cdot2\cdot3\cdot1=2,
V_{BCKM}=\frac{1}{6}BC\cdot KM\cdot d\cdot\sin90^{\circ}=\frac{1}{6}\cdot3\cdot5\cdot1\cdot1=\frac{5}{2}.
Следовательно, объём многогранника ABCDKM
равен 2+\frac{5}{2}=\frac{9}{2}
.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 13, с. 124