8577. Существует ли треугольная пирамида, высоты которой равны 1, 2, 3 и 6?
Ответ. Нет.
Решение. Докажем, что площадь любой грани тетраэдра меньше суммы площадей трёх остальных его граней. В самом деле, ортогональные проекции на плоскость грани тетраэдра трёх остальных его граней полностью покрывают эту грань, а площадь ортогональной проекции треугольника на плоскость, ему не параллельную, равна площади проектируемого треугольника, умноженной на косинус угла между этой плоскостью и плоскостью проектируемого треугольника. Следовательно, площадь грани тетраэдра меньше суммы площадей остальных трёх его граней.
Предположим теперь, что существует тетраэдр, с высотами
h_{1}=1,~h_{2}=2,~h_{3}=3,h_{4}=6.
Пусть S_{1}
, S_{2}
, S_{3}
и S_{4}
соответственно — площади граней тетраэдра, на которые опущены эти высоты, V
— объём тетраэдра. Тогда
V=\frac{1}{3}S_{1}\cdot h_{1}=\frac{1}{3}S_{1},~V=\frac{1}{3}S_{2}\cdot h_{2}=\frac{2}{3}S_{2},
V=\frac{1}{3}S_{3}\cdot h_{3}=S_{3},~V=\frac{1}{4}S_{4}\cdot h_{4}=2S_{4}.
Из этих равенств находим, что
S_{1}=6S_{4},~S_{2}=3S_{4},~S_{3}=2S_{4}.
Поэтому
S_{1}=6S_{4}=S_{4}+2S_{4}+3S_{4}=S_{4}+S_{3}+S_{2},
что невозможно.