8580. Объём пирамиды ABCD
равен 1. На рёбрах AD
, BD
, CD
взяты соответственно точки K
, L
и M
, причём 2AK=KD
, BL=2LD
и 2CM=3MD
. Найдите объём многогранника ABCKLM
.
Ответ. \frac{41}{45}
.
Указание. Если точки K
, L
и M
лежат на рёбрах соответственно DA
, DB
и DC
треугольной пирамиды ABCD
(или на их продолжениях), то
\frac{V_{KLMD}}{V_{ABCD}}=\frac{DK}{DA}\cdot\frac{DL}{DB}\cdot\frac{DM}{DC}.
Решение. V_{KLMD}=\frac{DK}{DA}\cdot\frac{DL}{DB}\cdot\frac{DM}{DC}\cdot V_{ABCD}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{5}\cdot1=\frac{4}{45}.
Следовательно,
V_{ABCKLM}=V_{ABCD}-V_{KLMD}=1-\frac{4}{45}=\frac{41}{45}.