8581. Объём треугольной пирамиды 1. Найдите объём пирамиды с вершинами в точках пересечения медиан данной пирамиды.
Ответ. \frac{1}{27}
.
Решение. Пусть A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
и D_{1}
— точки пересечения медиан граней соответственно BCD
, ACD
, ABD
и ABC
треугольной пирамиды ABCD
. Тогда отрезки AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
и DD_{1}
(медианы тетраэдра) пересекаются в одной точке (обозначим её буквой M
) и делятся ею в отношении 3:1
, считая от вершин пирамиды. Поэтому при гомотетии относительно точки M
с коэффициентом -\frac{1}{3}
точка A
переходит в точку A_{1}
, точка B
— в точку B_{1}
, C
— в C_{1}
, D
— в D_{1}
. Значит, тетраэдр A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
подобен тетраэдру ABCD
с коэффициентом \frac{1}{3}
. Следовательно,
V_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=\left(\frac{1}{3}\right)^{3}\cdot V_{ABCD}=\frac{1}{27}.