8583. На диагонали единичного куба взяты точки M
и N
, а на скрещивающейся с ней диагонали грани — точки P
и Q
. Известно, что MN=\frac{1}{2}
, а PQ=\frac{1}{3}
. Найдите объём тетраэдра MNPQ
.
Ответ. \frac{\sqrt{6}}{216}
.
Указание. Объём тетраэдра равен одной шестой произведения двух его противолежащих рёбер на расстояние между ними и на синус угла между ними.
Решение. Пусть точки M
и N
лежат на диагонали DB_{1}
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, а точки P
и Q
— на диагонали A_{1}C_{1}
грани A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Так как диагональ куба перпендикулярна скрещивающейся с ней диагонали грани куба, то противолежащие рёбра MN
и PQ
тетраэдра перпендикулярны. Пусть d
— расстояние между прямыми DB_{1}
и A_{1}C_{1}
. Известно, что d=\frac{\sqrt{6}}{6}
. Известно также, что
V_{MNPQ}=\frac{1}{6}MN\cdot PQ\cdot d\cdot\sin\alpha,
где \alpha
— угол между противоположными рёбрами MN
и PQ
тетраэдра MNPQ
. В нашем случае \alpha=90^{\circ}
. Следовательно,
V_{MNPQ}=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{6}}{6}\cdot1=\frac{\sqrt{6}}{216}.