8584. Объём тетраэдра ABCD
равен V
. На ребре AB
взяты точки M
и N
, а на ребре CD
— точки P
и Q
. Известно, что MN=\alpha AB
, PQ=\beta CD
. Найдите объём тетраэдра MNPQ
.
Ответ. \alpha\beta V
.
Указание. Объём тетраэдра равен одной шестой произведения двух его противолежащих рёбер на расстояние между ними и на синус угла между ними.
Решение. Пусть d
— расстояние между прямыми AB
и CD
, \varphi
— угол между ними. Тогда
V=\frac{1}{6}AB\cdot CD\cdot d\sin\varphi.
Следовательно,
V_{MNPQ}=\frac{1}{6}MN\cdot PQ\cdot d\cdot\sin\varphi=
=\alpha\beta\frac{1}{6}AB\cdot CD\cdot d\sin\varphi=\alpha\beta V.