8586. На рёбрах AB
, BC
и AD
тетраэдра ABCD
объёма V
взяты соответственно точки K
, L
и N
, причём 2AK=AB
, 3BL=BC
, 5DN=AD
. Найдите объём тетраэдра NKLB
.
Ответ. \frac{2V}{15}
.
Решение. Пусть DD_{1}
— высота тетраэдра ABCD
. Тогда высота NN_{1}
тетраэдра NKLB
равна \frac{4}{5}DD_{1}
. Следовательно,
V_{NKLB}=\frac{1}{3}S_{\triangle KLB}\cdot NN_{1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{BK}{BA}\cdot\frac{BL}{BC}\cdot S_{\triangle ABC}\cdot\frac{4}{5}DD_{1}=
=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}\cdot\frac{4}{5}DD_{1}=\frac{1}{6}\cdot\frac{4}{5}\left(\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DD_{1}\right)=\frac{2}{15}V.