8590. На рёбрах AB
, BC
, CD
и AD
тетраэдра ABCD
объёма V
взяты соответственно точки K
, L
, M
и N
, причём 2AK=AB
, 3BL=BC
, 4CM=CD
и 5DN=AD
. Найдите объём тетраэдра KLMN
.
Ответ. \frac{23V}{120}
.
Решение. Разобьём тетраэдр ABCD
на 7 тетраэдров: AMNK
, ACMK
, KNDL
, BDLK
, CMLK
, DMNL
и KLMN
. Тогда
V_{AMNK}=\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}V=\frac{3}{10}V,
V_{ACMK}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}V=\frac{1}{8}V,
V_{KNDL}=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}V=\frac{1}{30}V,
V_{BDLK}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}V=\frac{1}{6}V,
V_{CMLK}=\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}V=\frac{1}{12}V,
V_{DMNL}=\frac{1}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}V=\frac{1}{10}V.
Следовательно,
V_{KLMN}=V_{ABCD}-V_{AMNK}-V_{ACMK}-V_{KNDL}-V_{BDLK}-V_{CMLK}-V_{DMNL}=
=V-\frac{3}{10}V-\frac{1}{8}V-\frac{1}{30}V-\frac{1}{6}V-\frac{1}{12}V-\frac{1}{10}V=V-\frac{97V}{120}=\frac{23V}{120}.