8591. Высота цилиндра равна h
. В каждое основания вписан правильный треугольник со стороной a
, причём один из этих треугольников повёрнут относительно другого на угол 60^{\circ}
. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются все вершины этих треугольников.
Ответ. \frac{1}{3}a^{2}h\sqrt{3}
.
Решение. Пусть O
и O_{1}
— центры данных треугольников ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
, B'
— ортогональная проекция вершины B
на плоскость A_{1}B_{1}C_{1}
. Тогда B'
— середина дуги A_{1}B_{1}
окружности, описанной около треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Значит, C_{1}B'
— диаметр этой окружности, а \angle C_{1}B_{1}B'=90^{\circ}
. Так как B'B_{1}\perp C_{1}B_{1}
, то по теореме о трёх перпендикулярах BB_{1}\perp C_{1}B_{1}
. Следовательно, четырёхугольник ABB_{1}C_{1}
— прямоугольник, в котором AB=B_{1}C_{1}=a
. Обозначим BB_{1}=AC_{1}=b
.
Многогранник ABCA_{1}B_{1}C_{1}
состоит из двух равных четырёхугольных пирамид с общим основанием ABB_{1}C_{1}
, площадь которого равна ab
. Пусть CP
— высота четырёхугольной пирамиды CABB_{1}C_{1}
. Так как CB=CA
, то PB=PA
. Поэтому точка P
лежит на серединном перпендикуляре к сторонам AB
и B_{1}C_{1}
прямоугольника ABB_{1}C_{1}
. Пусть M
и M_{1}
— середины рёбер AB
и B_{1}C_{1}
соответственно, а C'
— ортогональная проекция вершины C
на плоскость A_{1}B_{1}C_{1}
. Тогда C'
— середина дуги B_{1}C_{1}
окружности, описанной около треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, MC\parallel M_{1}C'
, а точка P
лежит на MM_{1}
.
Рассмотрим прямоугольную трапецию CMM_{1}C'
. В ней
CM=\frac{a\sqrt{3}}{2},~M_{1}C'=\frac{a\sqrt{3}}{6},~CC'=h,~MM_{1}=b.
Обозначим \angle MCP=\alpha
. Опустим перпендикуляр M_{1}Q
из точки M_{1}
на CM
. Тогда
\angle MM_{1}Q=\angle MCP=\alpha,~\cos\alpha=\cos\angle MM_{1}Q,~\frac{M_{1}Q}{MM}_{1}=\frac{h}{b}.
Поэтому
CP=CM\cos\alpha=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{h}{b}.
Следовательно,
V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}=2V_{CABB_{1}C_{1}}=2\cdot\frac{1}{3}S_{ABB_{1}C_{1}}\cdot CP=
=\frac{2}{3}ab\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{h}{b}=\frac{1}{3}a^{2}h\sqrt{3}.