8592. Дан прямоугольник ABCD
и прямая MN
, параллельная AB
и удалённая от плоскости прямоугольника на расстояние h
(см.рис.). Известно, что AB=a
, BC=b
, MN=c
. Найдите объём многогранника ABCDMN
.
Ответ. \frac{1}{6}bh(c+2a)
.
Решение. Плоскость BMC
разбивает многогранник ABCDMN
на четырёхугольную пирамиду ABCDM
с основанием ABCD
и треугольную пирамиду BCMN
. Высота MM_{1}
пирамиды ABCDM
равна расстоянию от точки M
до плоскости ABCD
, т. е. MM_{1}=h
. Противоположные рёбра BC
и MN
треугольной пирамиды BCMN
перпендикулярны, а расстояние между ними равно расстоянию от прямой MN
до плоскости ABCD
, т. е. h
. Поэтому
V_{ABCDM}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot h=\frac{1}{3}abh,
V_{BCMN}=\frac{1}{6}BC\cdot MN\cdot h\cdot\sin90^{\circ}=\frac{1}{6}bch.
Следовательно,
V_{ABCDMN}=\frac{1}{3}abh+\frac{1}{6}bch=\frac{1}{6}bh(2a+c).