8593. Дан правильный шестиугольник ABCDEF
со стороной a
. Отрезок MN
параллелен одной из сторон шестиугольника, равен его стороне и расположен на расстоянии h
от его плоскости. Найдите объём многогранника ABCDEFMN
.
Ответ. \frac{2}{3}a^{2}h\sqrt{3}
.
Решение. Пусть MN\parallel AB
. Плоскости AME
и BND
разбивают многогранник ABCDEFMN
на две треугольные пирамиды AFEM
и BCDN
с высотами MM_{1}=NN_{1}=h
и треугольную призму AMEBND
с основаниями AME
и BND
. Далее имеем:
S_{\triangle AFE}=S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}BC\cdot CD\cdot\sin120^{\circ}=\frac{1}{4}a^{2}\sqrt{3},
S_{ABDE}=AB\cdot BD=a\cdot a\sqrt{3}=a^{2}\sqrt{3},
V_{AFEM}=V_{BCDN}=\frac{1}{3}S_{\triangle BCD}\cdot NN_{1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}a^{2}\sqrt{3}\cdot h=\frac{a^{2}h\sqrt{3}}{12},
V_{AMEBND}=\frac{1}{2}S_{ABDE}\cdot h=\frac{1}{2}a^{2}\sqrt{3}\cdot h=\frac{1}{2}a^{2}h\sqrt{3}.
Следовательно,
V_{ABCDEFMN}=V_{AFEM}+V_{BCDN}+V_{AMEBND}=
=\frac{2a^{2}h\sqrt{3}}{12}+\frac{1}{2}a^{2}h\sqrt{3}=\frac{2}{3}a^{2}h\sqrt{3}.