8594. Площади граней ABC
и ADC
тетраэдра ABCD
равны P
и Q
. Докажите, что биссекторная плоскость двугранного угла с ребром AC
делит ребро BD
в отношении P:Q
.
Решение. Пусть биссекторная плоскость двугранного угла с ребром AC
пересекает ребро BD
в точке M
, а MG
и MH
— перпендикуляры, опущенные из точки M
на плоскости граней ABC
и ADC
соответственно. Биссекторная плоскость двугранного угла есть геометрическое место внутренних точек двугранного угла, равноудалённых от его граней. Поэтому MG=MH
. Значит,
\frac{V_{MABC}}{V_{MADC}}=\frac{\frac{1}{3}P\cdot MG}{\frac{1}{3}Q\cdot MH}=\frac{P}{Q}.
Пусть BK
и DL
— перпендикуляры, опущенные из точек B
и D
на плоскость треугольника AMC
. Тогда \frac{BK}{DL}=\frac{BM}{DM}
. Значит,
\frac{V_{MABC}}{V_{MADC}}=\frac{\frac{1}{3}S_{\triangle AMC}\cdot BK}{\frac{1}{3}S_{\triangle AMC}\cdot DL}=\frac{BK}{DL}=\frac{BM}{DM}.
Следовательно,
\frac{BM}{DM}=\frac{P}{Q}.