8594. Площади граней ABC
и ADC
тетраэдра ABCD
равны P
и Q
. Докажите, что биссекторная плоскость двугранного угла с ребром AC
делит ребро BD
в отношении P:Q
.
Решение. Пусть биссекторная плоскость двугранного угла с ребром AC
пересекает ребро BD
в точке M
, а MG
и MH
— перпендикуляры, опущенные из точки M
на плоскости граней ABC
и ADC
соответственно. Биссекторная плоскость двугранного угла есть геометрическое место внутренних точек двугранного угла, равноудалённых от его граней. Поэтому MG=MH
. Значит,
\frac{V_{MABC}}{V_{MADC}}=\frac{\frac{1}{3}P\cdot MG}{\frac{1}{3}Q\cdot MH}=\frac{P}{Q}.
Пусть BK
и DL
— перпендикуляры, опущенные из точек B
и D
на плоскость треугольника AMC
. Тогда \frac{BK}{DL}=\frac{BM}{DM}
. Значит,
\frac{V_{MABC}}{V_{MADC}}=\frac{\frac{1}{3}S_{\triangle AMC}\cdot BK}{\frac{1}{3}S_{\triangle AMC}\cdot DL}=\frac{BK}{DL}=\frac{BM}{DM}.
Следовательно,
\frac{BM}{DM}=\frac{P}{Q}.
Источник: Польские математические олимпиады. — 1957, задача 5
Источник: Страшевич С., Бровкин Е. Польские математические олимпиады. — М.: Мир, 1978. — № 53, с. 18
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 3.32, с. 49
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 3.25, с. 37
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 1, с. 133
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия. Стереометрия: Задачник для 10—11 кл. — М.: Дрофа, 1998. — № 30, с. 7
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — № 5, с. 238
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — пример 2, с. 68