8596. В основании пирамиды ABCD
лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC
с гипотенузой AB=4
. Высота пирамиды равна 2, а её основание совпадает с серединой AC
. Найдите двугранный угол между гранями ABD
и ADC
.
Ответ. \arcsin\sqrt{\frac{3}{5}}
.
Решение. Треугольник ABC
— равнобедренный и прямоугольный, его гипотенуза AB
равна 4, поэтому AC=BC=2\sqrt{2}
и
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot(2\sqrt{2})^{2}=4.
Пусть H
— середина AC
, а K
— проекция точки H
на гипотенузу AB
. Тогда DH=2
, а HK=1
как половина высоты CL
треугольника ABC
. Из прямоугольных треугольников DKH
и ADH
находим, что
DK=\sqrt{HK^{2}+DH^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5},~AD=\sqrt{AH^{2}+DH^{2}}=\sqrt{2+4}=\sqrt{6}.
Тогда
S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AC\cdot DH=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{2}\cdot2=2\sqrt{2}.
Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что DK\perp AB
, поэтому
S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot DK=\frac{1}{2}\cdot4\cdot\sqrt{5}=2\sqrt{5}.
Вычислим объём пирамиды двумя способами. С одной стороны,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DH=\frac{1}{3}\cdot4\cdot2=\frac{8}{3}.
С другой стороны, если \alpha
— искомый угол между гранями ABD
и ACD
, то
V_{ABCD}=\frac{2}{3}\cdot\frac{S_{\triangle ADC}\cdot S_{\triangle BCD}\sin\alpha}{AD}=\frac{2}{3}\cdot\frac{2\sqrt{5}\cdot2\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{8\sqrt{10}}{3\sqrt{6}}\sin\alpha.
Из уравнения
\frac{8\sqrt{10}}{3\sqrt{6}}\sin\alpha=\frac{8}{3}
находим, что \sin\alpha=\sqrt{\frac{3}{5}}
.