8597. В основании пирамиды ABCD
лежит прямоугольный треугольник ABC
с гипотенузой AC
, DC
— высота пирамиды, AB=1
, BC=2
, CD=3
. Найдите двугранный угол между плоскостями ADB
и ADC
.
Ответ. \arcsin\frac{2\sqrt{14}}{\sqrt{65}}
.
Решение. По теореме о трёх перпендикулярах AB\perp BD
. Из прямоугольных треугольников ABC
, ADC
и ABD
находим, что
AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5},
AD=\sqrt{AC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{5+9}=\sqrt{14},
BD=\sqrt{BC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.
Тогда
S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC\cdot CD=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{5}\cdot3=\frac{3\sqrt{5}}{2},
S_{\triangle ADB}=\frac{1}{2}AB\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\sqrt{13}=\frac{\sqrt{13}}{2},
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot1\cdot2=1.
Вычислим объём пирамиды двумя способами. С одной стороны,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot CD=\frac{1}{3}\cdot1\cdot3=1.
С другой стороны, если \alpha
— искомый угол между плоскостями ADB
и ADC
, то
V_{ABCD}=\frac{2}{3}\cdot\frac{S_{\triangle ADB}\cdot S_{\triangle ADC}\sin\alpha}{AD}=\frac{2}{3}\cdot\frac{\frac{\sqrt{13}}{2}\cdot\frac{3\sqrt{5}}{2}\sin\alpha}{\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{65}\sin\alpha}{2\sqrt{14}}.
Из уравнения
\frac{\sqrt{65}\sin\alpha}{2\sqrt{14}}=1
находим, что \sin\alpha=\frac{2\sqrt{14}}{\sqrt{65}}
.