8598. В основании пирамиды SABCD
лежит трапеция ABCD
с основаниями BC
и AD
, причём BC=2AD
. На рёбрах SA
и SB
взяты точки K
и L
, причём 2SK=KA
и 3SL=LB
. В каком отношении плоскость KLC
делит ребро SD
?
Ответ. 2:1
.
Решение. Первый способ. Плоскости граней SBC
и SAD
проходят через параллельные прямые BC
и AD
и имеют общую точку S
. Значит, они пересекаются по прямой l
, параллельной основаниям трапеции и проходящей через точку S
(рис. 1). Пусть прямая CL
пересекается с прямой l
в точке P
, прямая PK
пересекается с прямой SD
в точке M
, а с прямой AD
— в точке Q
.
Обозначим AD=a
. Тогда BC=2a
. Из подобия треугольников SLP
и BLC
находим, что
SP=\frac{SL}{LB}\cdot BC=\frac{1}{3}\cdot2a=\frac{2}{3}a,
а из подобия треугольников SKP
и AKQ
—
AQ=\frac{AK}{KS}\cdot SP=2\cdot\frac{2}{3}a=\frac{4}{3}a.
Тогда QD=AQ-AD=\frac{4}{3}a-a=\frac{1}{3}a
, а из подобия треугольников SMP
и DMQ
следует, что
\frac{SM}{MD}=\frac{SP}{QD}=\frac{\frac{2}{3}a}{\frac{1}{3}a}=2.
Второй способ. Пусть M
— точка пересечения секущей плоскости с прямой SD
(рис. 2). Обозначим V_{SABCD}=V
, \frac{SM}{SD}=x
. Тогда
V_{SABC}=\frac{2}{3}V,~V_{SADC}=\frac{1}{3}V,~V_{SABD}=\frac{1}{3}V,~V_{SBCD}=\frac{2}{3}V,
V_{SCKL}=\frac{SL}{SB}\cdot\frac{SK}{SA}\cdot\frac{SC}{SC}\cdot V_{SABC}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1}\cdot\frac{2}{3}V,
V_{SCKM}=\frac{SK}{SA}\cdot\frac{SC}{SC}\cdot\frac{SM}{SD}\cdot V_{SACD}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1}\cdot x\cdot\frac{1}{3}V,
V_{SKLM}=\frac{SL}{SB}\cdot\frac{SK}{SA}\cdot\frac{SM}{SD}\cdot V_{SABD}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}\cdot x\cdot\frac{1}{3}V,
V_{SCLM}=\frac{SL}{SB}\cdot\frac{SC}{SC}\cdot\frac{SM}{SD}\cdot V_{SBCD}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{1}\cdot x\cdot\frac{2}{3}V.
Условие принадлежности точек K
, L
, C
и M
одной плоскости равносильно равенству
V_{SCKL}+V_{SCKM}=V_{SKLM}+V_{SCLM},
или
\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1}\cdot\frac{2}{3}V+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1}\cdot x\cdot\frac{1}{3}V=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}\cdot x\cdot\frac{1}{3}V+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{1}\cdot x\cdot\frac{2}{3}V.
Отсюда находим, что \frac{SM}{SD}=x=\frac{2}{3}
. Следовательно, SM:MD=2:1
.