8599. На рёбрах DA
, DB
и DC
пирамиды ABCD
взяты соответственно точки K
, L
и M
, причём DK=\frac{1}{2}DA
, DL=\frac{2}{5}DB
и DM=\frac{3}{4}DC
, G
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. В каком отношении плоскость KLM
делит отрезок DG
?
Ответ. 18:17
.
Решение. Обозначим V_{ABCD}=V
. Тогда
V_{DKLM}=\frac{DK}{DA}\cdot\frac{DL}{DB}\cdot\frac{DM}{DC}\cdot V_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot V=\frac{3}{20}V.
Поскольку G
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, Треугольники AGB
, AGC
и BGC
равновелики, поэтому
V_{DAGB}=V_{DAGC}=V_{DBGC}=\frac{1}{3}V_{ABCD}
Обозначим \frac{DO}{DG}=x
. Пусть O
— точка пересечения отрезка DG
с плоскостью KLM
. Тогда
V_{DKLO}=\frac{DK}{DA}\cdot\frac{DL}{DB}\cdot\frac{DO}{DG}\cdot\frac{1}{3}V_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}\cdot x\cdot\frac{1}{3}V=\frac{1}{15}xV,
V_{DMLO}=\frac{DM}{DC}\cdot\frac{DL}{DB}\cdot\frac{DO}{DG}\cdot\frac{1}{3}V_{ABCD}=\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{5}\cdot x\cdot\frac{1}{3}V=\frac{1}{10}xV,
V_{DKMO}=\frac{DK}{DA}\cdot\frac{DM}{DC}\cdot\frac{DO}{DG}\cdot\frac{1}{3}V_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot x\cdot\frac{1}{3}V=\frac{1}{8}xV,
Условие принадлежности точек K
, L
, M
и O
одной плоскости равносильно равенству
V_{DKLO}+V_{DMLO}+V_{DKMO}=V_{DKML},
или
\frac{1}{15}xV+\frac{1}{10}xV+\frac{1}{8}xV=\frac{3}{20}V.
Отсюда находим, что \frac{DO}{DG}=x=\frac{18}{35}
. Следовательно, \frac{DO}{OG}=\frac{18}{17}
.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 7, с. 133