8606. Пусть r_{0}
— радиус вневписанной сферы тетраэдра, касающейся грани площади S_{0}
, а S_{1}
, S_{2}
и S_{3}
— площади остальных граней тетраэдра. Докажите, что объём тетраэдра можно вычислить по формуле V=\frac{1}{3}(S_{1}+S_{2}+S_{3}-S_{0})\cdot r_{0}
.
Решение. Пусть O
— центр сферы радиуса r_{0}
, касающейся грани ABC
и продолжений граней ABD
, BDC
и ADC
тетраэдра ABCD
и при этом
S_{\triangle ABC}=S_{0},~S_{\triangle ADB}=S_{1},~S_{\triangle BDC}=S_{2},~S_{\triangle ADC}=S_{3}.
Соединим точку O
со всеми вершинами тетраэдра и рассмотрим треугольные пирамиды OABC
, OABD
, OBDC
и OADC
с общей вершиной O
и высотами, равными r_{0}
, проведёнными из этой вершины. Если V
— объём тетраэдра ABCD
, то
V=V_{OABD}+V_{OBDC}+V_{OADC}-V_{ABCD}=
=\frac{1}{3}S_{\triangle ADB}\cdot r_{0}+\frac{1}{3}S_{\triangle BDC}\cdot r_{0}+\frac{1}{3}S_{\triangle ADC}\cdot r_{0}-\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot r_{0}=
=\frac{1}{3}S_{1}\cdot r_{0}+\frac{1}{3}S_{2}\cdot r_{0}+\frac{1}{3}S_{3}\cdot r_{0}-\frac{1}{3}S_{0}\cdot r_{0}=
=\frac{1}{3}(S_{1}+S_{2}+S_{3}-S_{0})\cdot r_{0}.
Что и требовалось доказать