8609. Основанием прямой призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
является прямоугольный треугольник ABC
(\angle B=90^{\circ}
, AB=BC=10
); AA_{1}=BB_{1}=CC_{1}=12
. Точка M
— середина бокового ребра AA_{1}
. Через точки M
и B_{1}
проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол 45^{\circ}
и пересекающая ребро CC_{1}
в точке E
. Найдите CE
.
Ответ. 4.
Решение. Пусть прямые ME
и A_{1}C_{1}
пересекаются в точке P
. Тогда плоскость сечения пересекается с плоскостью основания A_{1}B_{1}C_{1}
по прямой B_{1}P
(рис. 1).
Предположим, что точка P
лежит на продолжении ребра A_{1}C_{1}
за точку A_{1}
. Опустим перпендикуляр A_{1}K
из точки A_{1}
на прямую B_{1}P
. По теореме о трёх перпендикулярах MK\perp B_{1}P
, значит, A_{1}KM
— линейный угол двугранного угла между секущей плоскостью и плоскостью основания призмы. По условию задачи \angle A_{1}KM=45^{\circ}
. Из прямоугольных треугольников A_{1}B_{1}C_{1}
, A_{1}KM
и A_{1}KB_{1}
находим, что
A_{1}C_{1}=10\sqrt{2},~A_{1}K=A_{1}M=6,~B_{1}K=\sqrt{A_{1}B_{1}^{2}-A_{1}K^{2}}=\sqrt{100-36}=8.
Рассмотрим треугольник PB_{1}C_{1}
(рис. 2). Обозначим \angle KA_{1}B_{1}=\alpha
. Тогда
\cos\alpha=\frac{A_{1}K}{A_{1}B_{1}}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5},~\sin\alpha=\frac{4}{5},
\angle PA_{1}K=180^{\circ}-45^{\circ}-\alpha=135^{\circ}-\alpha,
PA_{1}=\frac{KA_{1}}{\cos\angle PA_{1}K}=\frac{6}{\cos(135^{\circ}-\alpha)}=\frac{6}{\cos135^{\circ}\cos\alpha+\sin135^{\circ}\sin\alpha}=
=\frac{6\sqrt{2}}{-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}}=30\sqrt{2},~PC_{1}=PA_{1}+A_{1}C_{1}=30\sqrt{2}+10\sqrt{2}=40\sqrt{2}.
Из подобия треугольников PEC_{1}
и PMA_{1}
находим, что
EC_{1}=MA_{1}\cdot\frac{PC_{1}}{PA_{1}}=6\cdot\frac{40\sqrt{2}}{30\sqrt{2}}=6\cdot\frac{4}{3}=8.
Следовательно,
CE=CC_{1}-EC_{1}=12-8=4.
Если точка P
лежит на продолжении ребра A_{1}C_{1}
за точку C_{1}
, то, рассуждая аналогично, получим, что
\cos\alpha=\frac{4}{5},~\sin\alpha=\frac{3}{5},
\angle PA_{1}K=45^{\circ}+90^{\circ}-\alpha=135^{\circ}-\alpha,
PA_{1}=\frac{KA_{1}}{\cos\angle PA_{1}K}=\frac{6}{\cos(135^{\circ}-\alpha)}=\frac{6}{\cos135^{\circ}\cos\alpha+\sin135^{\circ}\sin\alpha}=
=\frac{6\sqrt{2}}{-\frac{4}{5}+\frac{3}{5}}=-30\sqrt{2},
что невозможно.
Источник: Вступительный экзамен в МИЭМ. — 2006, № 8, вариант 6