8610. Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат со стороной 8. Высота пирамиды равна 9. Через сторону основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол, равный \arctg\frac{3}{4}
. Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.
Ответ. 45.
Решение. Пусть PH
— высота правильной четырёхугольной пирамиды PABCD
с вершиной P
, K
и Q
— середины противоположных сторон соответственно AB
и CD
основания ABCD
(рис. 1). Поскольку секущая плоскость проходит через прямую AB
, параллельную плоскости боковой грани CPD
, она пересекает эту плоскость по прямой, параллельной AB
и CD
. Значит, рассматриваемое сечение — трапеция ABMN
(точка M
лежит на ребре CP
, N
— на DP
.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью KPQ
(рис. 2). Поскольку пирамида правильная, эта плоскость перпендикулярна ребру AB
. Значит, PKQ
— линейный угол двугранного угла между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды, а если L
— точка пересечения отрезков MN
и PQ
, то LKQ
— линейный угол между плоскостью основания и плоскостью сечения ABMN
.
Обозначим \angle LKQ=\alpha
, \angle PKQ=\beta
. По условию задачи \tg\alpha=\frac{3}{4}
. Тогда \cos\alpha=\frac{4}{5}
, \sin\alpha=\frac{3}{5}
. Из прямоугольного треугольника PHK
находим, что
PK=\sqrt{HK^{2}+PH^{2}}=\sqrt{4^{2}+9^{2}}=\sqrt{97}.
Тогда
\cos\beta=\frac{HK}{PK}=\frac{4}{\sqrt{97}},~\sin\beta=\frac{PH}{PK}=\frac{9}{\sqrt{97}}.
Поэтому
\sin\angle PKL=\sin(\angle PKQ-\angle LKQ)=\sin(\beta-\alpha)=
=\sin\beta\cos\alpha-\cos\beta\sin\alpha=\frac{9}{\sqrt{97}}\cdot\frac{4}{5}-\frac{4}{\sqrt{97}}\cdot\frac{3}{5}=\frac{24}{5\sqrt{97}}.
Вычислим площадь треугольника KPQ
двумя способами. С одной стороны,
S_{\triangle KPQ}=\frac{1}{2}KQ\cdot PH=\frac{1}{2}\cdot8\cdot9=36,
С другой —
S_{\triangle KPQ}=S_{\triangle KLQ}+S_{\triangle KLP}=\frac{1}{2}KL\cdot KQ\sin\alpha+\frac{1}{2}KL\cdot PK\sin(\beta-\alpha)=
=\frac{1}{2}KL\left(8\cdot\frac{3}{5}+\sqrt{97}\cdot\frac{24}{5\sqrt{97}}\right)=\frac{24}{5}KL.
Из уравнения \frac{24}{5}KL=36
находим, что KL=\frac{15}{2}
.
Кроме того, из равенства площадей треугольников KLQ
и KLP
(каждая из них равна \frac{1}{2}KL\cdot\frac{24}{5}
) следует, что L
— середина PQ
. Значит, MN
— средняя линия треугольника CPD
. Поэтому MN=\frac{1}{2}CD=4
, а так как KL
— высота трапеции ABMN
, то
S_{ABMN}=\frac{1}{2}(AB+MN)\cdot KL=\frac{1}{2}(8+4)\cdot\frac{15}{2}=45.