8613. В основании пирамиды лежит прямоугольник. Все боковые рёбра равны. Плоскость пересекает боковые рёбра пирамиды, отсекая на них отрезки a
, b
, c
и d
(в порядке обхода и считая от общей вершины). Докажите, что \frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{b}+\frac{1}{d}
.
Решение. Пусть плоскость пересекает боковые рёбра PA
, PB
, PC
и PD
четырёхугольной пирамиды PABCD
в точках A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
и D_{1}
соответственно, причём PA_{1}=a
, PB_{1}=b
, PC_{1}=c
, PD_{1}=d
. Обозначим PA=PB=PC=PD=t
. Поскольку ABCD
— прямоугольник, треугольники ABC
и ADC
равновелики, поэтому равновелики треугольные пирамиды PABC
и PADC
.
Пусть V_{PABC}=V_{PADC}=V
. Тогда
V_{PA_{1}B_{1}C_{1}}=\frac{PA_{1}}{PA}\cdot\frac{PB_{1}}{PB}\cdot\frac{PC_{1}}{PC}\cdot V_{PABC}=\frac{a}{t}\cdot\frac{b}{t}\cdot\frac{c}{t}\cdot V,
V_{PA_{1}D_{1}C_{1}}=\frac{PA_{1}}{PA}\cdot\frac{PD_{1}}{PD}\cdot\frac{PC_{1}}{PC}\cdot V_{PABD}=\frac{a}{t}\cdot\frac{d}{t}\cdot\frac{c}{t}\cdot V.
Значит,
V_{PA_{1}B_{1}C_{1}}+V_{PA_{1}D_{1}C_{1}}=\frac{V}{t^{3}}(abc+adc).
Аналогично,
V_{PA_{1}B_{1}D_{1}}+V_{PB_{1}C_{1}D_{1}}=\frac{V}{t^{3}}(abd+bdc).
таким образом,
\frac{V}{t^{3}}(abc+adc)=\frac{V}{t^{3}}(abd+bdc),
поэтому abc+adc=abd+bdc
. Разделив обе части этого равенства почленно на произведение abcd
, получим, что
\frac{1}{d}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}.
Что и требовалось доказать.