8614. В правильной треугольной пирамиде SABC
с вершиной S
проведена высота SD
. На отрезке SD
взята точка K
так, что SK:KD=1:2
. Известно, что двугранные углы между основанием и боковыми гранями равны \frac{\pi}{6}
, а расстояние от точки K
до бокового ребра равно \frac{4}{\sqrt{13}}
. Найдите объём пирамиды.
Ответ. 216.
Решение. Пусть M
— середина AB
, L
и N
— основания перпендикуляров, опущенных из точек соответственно K
и D
на боковое ребро SC
. Треугольник SDN
подобен треугольнику SKL
с коэффициентом \frac{SD}{SK}=3
. Поэтому
DN=KL\cdot\frac{SD}{SK}=3KL=\frac{12}{\sqrt{13}}.
Обозначим AB=BC=AC=a
, \angle SCD=\alpha
(угол бокового ребра с плоскостью основания). Из прямоугольных треугольников SDM
, SCD
и DNC
находим, что
SD=MD\tg\angle SMD=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\tg30^{\circ}=\frac{a}{6},
\ctg\alpha=\ctg\angle SCD=\frac{DC}{SD}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{\frac{a}{6}}=2\sqrt{3},
\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^{2}\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{13}},
\frac{12}{\sqrt{13}}=DN=CD\sin\alpha=\frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{13}}.
Отсюда находим, что a=12\sqrt{3}
. Следовательно,
V_{SABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot SD=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a}{6}=\frac{\sqrt{3}}{72}a^{3}=\frac{\sqrt{3}}{72}\cdot(12\sqrt{3})^{3}=216.