8617. Основанием пирамиды SABC
является прямоугольный треугольник ABC
(C
— вершина прямого угла). Все боковые грани пирамиды наклонены к её основанию под одинаковым углом, равным \arcsin\frac{5}{13}
. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если SO
— высота пирамиды, AO=1
, BO=3\sqrt{2}
.
Ответ. \frac{91}{25}
.
Решение. Поскольку боковые грани пирамиды наклонены к её основанию под одинаковым углом, высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание, т. е. точка O
— центр вписанной окружности треугольника ABC
(рис. 1). Пусть эта окружность касается катетов AC
и BC
в точках K
и L
соответственно, а гипотенузы AB
— в точке M
.
Поскольку OK\perp AC
, из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что SK\perp AC
. Значит, SKO
— линейный угол двугранного угла между боковой гранью ASC
и основанием пирамиды. Обозначим \angle SKO=\beta
. Тогда \angle SLO=\angle SMO=\beta
. По условию задачи \sin\beta=\frac{5}{13}
. Тогда \cos\beta=\frac{12}{13}
.
Поскольку центр окружности, вписанной в треугольник, есть точка пересечения его биссектрис,
\angle AOB=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ACB=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}
(см. задачу 4770). Из треугольника AOB
(рис. 2) по теореме косинусов находим, что
AB=\sqrt{AO^{2}+BO^{2}-2AO\cdot BO\cos135^{\circ}}=\sqrt{1+18+2\cdot1\cdot3\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}}=5.
Пусть r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
. Тогда
S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}AB\cdot r=\frac{5}{2}r.
С другой стороны,
S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}OA\cdot OB\sin\angle AOB=\frac{1}{2}\cdot1\cdot3\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{3}{2}.
Из уравнения \frac{5}{2}r=\frac{3}{2}
находим, что r=\frac{3}{5}
. Тогда
AM=AK=\sqrt{OA^{2}-OK^{2}}=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}}=\frac{4}{5},
BL=BM=AB-AM=5-\frac{4}{5}=\frac{21}{5},~AC=AK+KC=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}=\frac{7}{5},
BC=BL+LC=\frac{21}{5}+\frac{3}{5}=\frac{24}{5}.
Пусть p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда
p=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)=\frac{1}{2}\left(5+\frac{24}{5}+\frac{7}{5}\right)=\frac{28}{5}.
Значит,
S_{\triangle ABC}=pr=\frac{28}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{84}{25}.
Так как ортогональные проекции боковых граней пирамиды на плоскость основания — это треугольники AOB
, AOC
и BOC
, причём плоскости боковых граней образуют с основанием равные углы, то боковая поверхность равна площади основания, делённой на косинус угла между боковой гранью и основанием, т. е.
S_{\mbox{бок.}}=\frac{S_{\triangle ABC}}{\cos\beta}=\frac{\frac{84}{25}}{\frac{12}{13}}=\frac{91}{25}.