8621. На рёбрах AA_{1}
и CC_{1}
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
отмечены соответственно точки E
и F
, причём AE=2A_{1}E
, CF=2C_{1}F
. Через точки B
, E
и F
проведена плоскость, делящая куб на две части. Найдите отношение объёма части, содержащей точку B_{1}
, к объёму всего куба.
Ответ. \frac{25}{72}
.
Решение. Пусть прямые BF
и B_{1}C_{1}
пересекаются в точке P
, прямые BE
и A_{1}B_{1}
— в точке Q
, а прямая PQ
пересекает рёбра A_{1}D_{1}
и C_{1}D_{1}
в точках N
и M
соответственно. Тогда сечение куба плоскостью BEF
— пятиугольник BFMNE
.
Положим AB=2a
. Тогда объём куба равен V=8a^{3}
. Из подобия треугольников PFC_{1}
и CFB
находим, что
PC_{1}=BC\cdot\frac{C_{1}F}{FC}=2a\cdot\frac{1}{2}=a.
Аналогично, QA_{1}=a
.
Из подобия треугольников PMC_{1}
и PQB_{1}
находим, что
MC_{1}=QB_{1}\cdot\frac{PC_{1}}{PB_{1}}=3a\cdot\frac{1}{3}=a,
т. е. M
— середина C_{1}D_{1}
. Аналогично, N
— середина A_{1}D_{1}
.
Рассмотрим треугольную пирамиду BB_{1}PQ
с вершиной B
. Её высота равна ребру куба, а так как N
и M
— середины соседних сторон квадрата A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, то
S_{\triangle B_{1}PQ}=\frac{1}{2}B_{1}P\cdot B_{1}Q=\frac{1}{2}(3a)^{2}=\frac{9}{2}a^{2}.
Тогда
V_{BB_{1}PQ}=\frac{1}{3}S_{\triangle B_{1}PQ}\cdot BB_{1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{9}{2}a^{2}\cdot2a=3a^{3}.
Пусть V_{1}
— объём части куба, содержащей вершину B_{1}
. Тогда
V_{1}=V_{BB_{1}PQ}-V_{FMC_{1}P}-V_{ENA_{1}Q}=3a^{3}-2\cdot\frac{1}{3}S_{\triangle MC_{1}P}\cdot FC_{1}=
=3a^{3}-2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}a^{2}\cdot\frac{2}{3}a=3a^{3}-\frac{2}{9}a^{3}=\frac{25}{9}a^{3}=\frac{25}{72}\cdot8a^{3}=\frac{25}{72}V.
Следовательно, \frac{V_{1}}{V}=\frac{25}{72}
.