8623. Дана правильная треугольная пирамида SABC
. Точка S
— вершина пирамиды, AB=1
, AS=2
, BM
— медиана треугольника ABC
, AD
— биссектриса треугольника SAB
. Найдите длину отрезка DM
.
Ответ. \frac{\sqrt{31}}{6}
.
Решение. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, поэтому \frac{BD}{DS}=\frac{1}{2}
. Значит,
BD=\frac{1}{3}BS=\frac{1}{3}AS=\frac{2}{3}.
Пусть SH
— высота пирамиды. Обозначим \angle SBH=\angle SAH=\alpha
. Из прямоугольного треугольника SBH
находим, что
\cos\alpha=\frac{BH}{SB}=\frac{\frac{2}{3}BM}{BS}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}.
По теореме косинусов
DM=\sqrt{BM^{2}+BD^{2}-2BM\cdot BD\cos\alpha}=
=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}-2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{6}}=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{4}{9}-\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{31}}{6}.
Источник: Вступительный экзамен на географический факультет МГУ. — 1998, № 5, вариант 1