8630. Дан единичный куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Найдите радиус сферы, проходящей через точки A
, B
, C_{1}
и середину ребра B_{1}C_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{14}}{4}
.
Решение. Пусть M
— середина ребра B_{1}C_{1}
(рис. 1). Центр O
сферы, проходящей через точки A
, B
, C_{1}
и M
, равноудалён от концов отрезка AB
, значит, точка O
лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку AB
и проходящей через его середину. Аналогично, точка O
лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку MC_{1}
и проходящей через его середину, а также — в плоскости, перпендикулярной диагонали BC_{1}
грани BB_{1}C_{1}C
и проходящей через его середину, т. е. через центр Q
квадрата BB_{1}C_{1}C
.
Рассмотрим ортогональную проекцию куба на плоскость BB_{1}C_{1}C
. Пусть O'
— проекция центра сферы, N
— середина BC
, K
— середина CN
, L
— середина MC_{1}
, H
— середина AB
. Тогда O'K
— средняя линия треугольника NQC
, поэтому
O'K=\frac{1}{2}QN=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}BB_{1}=\frac{1}{4}.
Если P
— ортогональная проекция точки O
на плоскость ABCD
(рис. 2), то OP=O'K=\frac{1}{4}
. Пусть R
— искомый радиус. Тогда
R=OA=\sqrt{OP^{2}+PH^{2}+AH^{2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=
=\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{9}{16}+\frac{4}{16}}=\sqrt{\frac{14}{16}}=\frac{\sqrt{14}}{4}.